지수 함수 $f(x)=e^x$의 급수 표현

Maclaurin 급수

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots$

$f(x) = e^x$ 라고 할 때 다음 관계가 성립한다.

$f'(x) = f''(x) = f'''(x) = \cdots = f^{(n)}(x) = e^x$

따라서 $x=0$ 일 때 값은 모두 1이 된다.

$f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = 1$

$\begin{equation*}\begin{aligned}e^x &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4\cdots + \cdots \\&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{aligned}\end{equation*}$

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