삼각 측량법

작성일자 2025-11-19 글쓴이 saegillab

응답

[이 글은 강의를 위한 개략적인 내용을 포함하고 있습니다]

삼각함수를 이용하여 길이를 측정하는 방법을 삼각측량이라고 한다.

강 건너편에 있는 C점 까지의 수직 거리 $d$ 를 구해보자.

강 한편에서 A 와 B의 두 점을 잡고 거리를 측정하가 그 값이 $l$ 이라고 하자.

C와 $l$ 에 수직인 점 H 를 잡고 $\rm{\overline{AH}}$ 사이의 거리를 $x$ , $\rm{\overline{BH}}$ 사이의 거리를 $y$ 라고 하면

$l = x + y$

A에서 관측한 C까지의 각을 $\alpha$ , B에서 C를 관측한 각을 $\beta$ 라고 하면 탄젠트의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\tan{\alpha} = \frac{d}{x}$

$\tan{\beta} = \frac{d}{y}$

따라서 $x$ 와 $y$ 값은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x = \frac{d}{\tan\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} d$

$y = \frac{d}{\tan\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} d$

$l=x + y$ 이므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\begin{align*}l = x + y &= \left( \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \right) d \\ &= \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \sin \beta} d\\ &= \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha \sin\beta} d \end{align*}$

여기서 삼각함수의 합의 공식 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin \beta$ 를 이용하였다.

따라서 우리가 구하고자 하는 것은 $d$ 를 측정값 $l$ , $\alpha$ , $\beta$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$d = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\ l$

사인정리를 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\angle \rm{C}$ 를 $\gamma$ 라고 하면 삼각형의 내각의 합이 $180^{\circ}$ 이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta)$

각 $\alpha$ 의 대변의 길이를 $a$ , $\beta$ 의 대변을 $b$ 라고 하면 사인 정리에 의해 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{l}$

따라서 $a$ 와 $b$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$a= \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}\ l$

$b = \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\ l$

따라서 $d$ 를 $\alpha$ 를 이용하여 표시하면 다음과 같다.

$d = b \sin\alpha = \frac{\sin\alpha \sin \beta}{\sin\gamma}\ l$

$\sin(180^{\circ} - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$ 인 관계가 성립하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$d = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\ l$

길이의 측정

작성일자 2025-11-19 글쓴이 saegillab

응답

[이 글은 글 쓰기를 위한 개략적인 내용만을 포함하고 있습니다]

길이의 측정

과거 : 발걸음의 폭, 일정한 길이의 막대 등을 이용하여 측정

1 m의 정의

북극에서 적도까지 파리를 지나는 자오선 길이의 $\frac{1}{10\ 000\ 000}= 10^{-7}$ 배

1 m에 해당하는 금속 막대를 제작(미터 원기)하고 이를 기준으로 다른 물체들의 길이 측정

미터 원기의 문제점 : 온도에 따라 길이가 변하고, 미터 원기를 복제하는 과정에서 미세한 오차 발생

현재 : 빛의 속력을 이용하여 1 m를 정의하고 이를 이용하여 길이를 표시

1 m : 빛이 진공에서 $\frac{1}{299\ 792\ 458}$ 초 동안 진행한 거리

시간의 측정

작성일자 2025-11-19 글쓴이 saegillab

응답

과거 : 태양의 위치, 별의 위치 변화,달의 모양 변화와 같이 규칙적으로 일어나는 천문 현상을 이용하여 측정

해시계(앙부일구)

절기 측정 – 매일 달라지는 태양의 고도에 따른 그림자의 길이로 절기 측정(24절기)

시간 측정 – 태양의 ㄹ위치에 따른 그림자의 방향으로 시간 측정

일성정시의 – 태양의 위치와 별의 위치를 이용해 낮과 밤의 시간 측정

달의 모양 변화 – 달의 위상 변화가 일정한 주기로 일어나는 것을 이용하여 음력을 이용

진자 시계 추를 매단 줄이 길이에 따라 일정한 주기로 흔들리는 것을 이용하여 측정

단진자의 주기

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

길이가 $l=1\ \rm{m}$ 일 때 주기는 약 2초

단진자가 1초지나가게 하는 단진자 길이를 1 m로 정의하자고 하는 주장도 있었음.

수정(quartz)시계

수정(quartz) 에 전기를 가했을 때 발생하는 진동이 1초에 $2^{15}$ 번이라는 것을 이용한 전자시계

원자 시계

세슘-133( $^{133} \rm{Cs}$ )에서 바닥상태에서 방출되는 빛의 진동를 이용해 시간을 측정하고 시간의 기본 단위인 초(second, s)를 정의함

에라토스테네스의 지구 크기 측정

작성일자 2025-11-18 글쓴이 saegillab

응답

에라토스테네스가 측정한 지구 크기를 알아보기 전에 먼저 간단한 기하학을 알아봅니다.

위의 그림은 평행선 $l_1$ , $l_2$ 에 한 선을 그렸을 때 나오는 각 $\angle \rm{A}$ , $\angle \rm{B}$ , $\angle \rm{C}$ 를 보면 $\angle \rm{A}$ 와 $\angle \rm{B}$ 의 크기는 맞꼭지각으로 같고, $\angle \rm{B}$ 와 $\angle \rm{C}$ 의 크기는 동위각으로 같습니다. 따라서 $\angle \rm{A}$ 와 $\angle \rm{C}$ 크기는 같고 $\angle \rm{A}$ 와 $\angle \rm{C}$ 사이의 관계를 엇각이라고 한다.

$\angle \rm{A} = \angle \rm{B}$

$\angle \rm{B} = \angle \rm{C}$

$\therefore \angle \rm{A} = \angle \rm{C}$

에라토스테네스(기원전 275년 ~ 기원전 194년)는 고대 그리스의 수학자이자 천문학자입니다. 그는 프톨레마이오스 왕조가 세운 무세이온(Mouseion)과 그 부속 기관인 도서관(일명 대도서관)의 관장이기도 하였습니다.

에라토스테네스가 살던 시대 그리스인들은 지역에 따라 북극성의 높이가 다른 사실, 월식이 일어날 때 지구의 그림자가 둥근 것 등을 근거로 지구가 공처럼 둥글다는 것을 알고 있었습니다. 에라토스테네스는 그리스의 시에네(현재의 아스완- 이 지점은 북위 23도 26분 22초로 북회귀선에 위치해 있다.)에서 하짓날에 태양 빛이 우물의 바닥까지 닿으며 우물의 그림자가 사라진다는 것을 전해 듣고, 즉 해가 가장 높이 떴을 때의 고도가 $90^\circ$ 가 된다는 것을 알게 되었습니다. 하지만 알렉산드리아에서 하짓날 정오의 태양의 고도는 $82.8^\circ$ 로 시에네와 위도차가 약 $7.2^\circ$ 차이가 나는 것을 알게 되고 지구의 크기를 측정하기로 했습니다. 이런 차이는 시에네와 알렉산드리아의 위도 차에 따른 것으로 다음과 같은 가정을 하고 지구의 크기를 측정하였습니다.

알렉산드리아와 시에네 사이의 거리는 5 000 스타디아(미터법으로 925km)
알렉산드리아는 시에네의 정북쪽에 있다.(즉, 같은 경도에 있다.)
시에네는 북회귀선에 있다. (시에네의 하짓날 정오에 햇빛이 지면에 수직으로 비춘다.)
지구는 완전한 구형이다.
지구로 들어오는 태양 광선은 평행하다.

그림과 같이 햇빛이 평행하게 들어오면 지구상에서 측정한 $7.2^\circ$ 의 크기는 호의 길이가 925 km에 해당하는 중심각의 크기가 $7.2^\circ$ 가 되는 것을 알 수 있으므로 지구의 반지름을 $R$ 이라고 했을 때 다음과 같은 비례식을 만들 수 있습니다.

$7.2^\circ : 925\ {\rm km} = 360^\circ : 2\pi R$

$R= \frac{1}{2\pi} \times \frac{360^\circ}{7.2^\circ} \times 925\ {\rm km} \approx 7\ 360\ {\rm km}$

이 값은 현재 알고 있는 지구 평균반지름 약 $6\ 400\ \rm km$ 와 비교하면 약 15%정도의 오차가 발생합니다.

${\rm error} = \frac{7\ 360\ {\rm km} - 6\ 400\ {\rm km}}{6\ 400\ {\rm km}} \times 100 = 15\%$

에라토스테네스의 지구 크기 측정이 정확하지 않은 이유는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

지구는 완전한 구형이 아니라 적도쪽이 조금 더 부푼 타원체이다.
알렉산드리아와 시에네는 동일 경도위에 있지 않다.
두 지점 사이의 거리를 구한 값에 오차가 있다.

하지만 큰 오차에도 불구하고 기원전에 지구의 크기를 측정했다는 것은 큰 업적이라고 볼 수 있습니다. 기원후에는 이런 과학적 지식이 모두 사라졌다는 것은 인류역사에서 봤을 때 큰 손해라고 할 수 있습니다.

미시 세계와 거시 세계

작성일자 2025-10-29 글쓴이 saegillab

응답

공간 규모에 따른 구분

거시 세계(macro world) : 공간의 관점에서 크기가 커서 관측이 가능한 세계

예 :

미시 세계(micro world) : 공간의 관점에서 크기가 작아 관측이 불가능한 세계

예 : 분자, 원자, 원자핵, 전자 등

다음은 미시 세계에 속하는 수소 원자와 거시 세계에 속하는 태양계 일부를 설명한 것이다.

수소 원자와 태양계에서 공간을 나타내는 단위를 미터(m)로 바꾸어 보자.

환산인자

$1 = \frac{1 \ {\rm nm}}{10^{-9} \ {\rm m}} = \frac{10^{-9} \ {\rm m}}{1 \ {\rm nm}}$

$1 = \frac{1\ {\rm AU}}{1.5\times 10^8 \ {\rm km}} = \frac{1.5\times 10^8 \ {\rm km}}{1\ {\rm AU}}$

$1 = \frac{1\ 000\ {\rm m}}{1\ {\rm km}} = \frac{1\ {\rm km}}{1\ 000\ {\rm m}}$

수소 원자의 지름이 0.1 nm이므로 수소 원자의 반지름은 0.05 nm이다.

$0.05\ {\rm nm} \times 1 =5\times 10^{-2}\ {\rm nm} \times \frac{10^{-9} \ {\rm m}}{1 \ {\rm nm}} = 5 \times 10^{-11} \ {\rm m}$

지구의 공전궤도 반지름이 1 AU이므로 다음과 같이 m로 바꿀 수 있다.

$\begin{align*} 1\ {\rm AU} \times 1 &= 1\ {\rm AU} \times \frac{1.5\times 10^8 \ {\rm km}}{1\ {\rm AU}} \times 1 \\&= 1.5\times 10^8 \ {\rm km} \times \frac{1\ 000\ {\rm m}}{1\ {\rm km}} \\&=1.5 \times 10^{11} \ {\rm m}\end{align*}$

수소 원자와 태양계에서 시간을 나타내는 단위를 초(s)로 바꾸어 보자.

환산인자

$1 = \frac{1 \ {\rm as}}{10^{-18} \ {\rm s}} = \frac{10^{-18} \ {\rm s}}{1 \ {\rm as}}$

$1 = \frac{365 \ {\rm day}}{1 \ {\rm year}} = \frac{1 \ {\rm year}}{365 \ {\rm day}}$

$1=\frac{1\ {\rm day}}{24 \ {\rm h}} = \frac{24 \ {\rm h}}{1\ {\rm day}}$

$1=\frac{1 \ {\rm h}}{60 \ {\rm min}} = \frac{60 \ {\rm min}}{1 \ {\rm h}}$

$1 = \rm \frac{1 \ min}{60 \ s} = \frac{60 \ s}{1\ min}$

수소 원자의 전자가 원자핵 주위를 한 바퀴 도는데 걸리는 시간이 150 as(아토초)이므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\rm 150 \ as \times 1 = 150 \ as \times \frac{10^{-18} \ s}{1\ as} =150 \times 10^{-18} \ s} = 1.5 \times 10^{-16} \ s$

지구가 태양 주위를 한바퀴 도는 공전하는 데 걸리는 시간이 365 일 이므로 다음과 같이 초로 바꿀 수 있다.

$\begin{align*} 365\ \rm day &= 365\ \rm day\times 1 \times 1 \times 1 \\\rm &= 365\ \rm day \times \frac{24\ \rm h}{1\ \rm day} \times \frac{60 \ \rm min}{1 \ \rm h} \times \frac{60 \ \rm s}{1 \ \rm min} \\& = 365 \times 24 \times 60 \times 60 \ \rm s \\& = 31\ 536\ 000\ \rm s \\& = 3.153\ 6 \times 10^7 \ \rm s\end{align*}$

미시 세계와 거시 세계를 표현하는 시간과 공간의 단위가 다른 이유는 무엇일까?

수소 원자의 반지름을 보면 $5 \times 10^{-11} \ {\rm m}$ 로 이 값을 지수형태가 아닌 값으로 표현하면 다음과 같다.

$5 \times 10^{-11} \ {\rm m} = 0.000\ 000\ 000\ 05\ \rm m$

즉 소수점 이하 11자리까지 0으로 표시해야만 한다. 따라서 편의성을 위해 $10^{-9}$ 에 해당하는 접두사 n(나노)를 붙여 0.05 nm와 같이 표현한다.

지구에서 태양까지의 거리를 미터로 표현하면 다음과 같다.

$1.5 \times 10^{11} \ {\rm m} = 150\ 000\ 000\ 000\ \rm m$

이 숫자는 1 500억 m에 해당하는 숫자로 표준 형식으로 쓰면 150 Gm(기가 미터)나 0.15 Tm(테라 미터)라고 쓰는 것이 옳은 표현입니다. 하지만 숫자가 너무 커서 쓰기 어렵고, 태양계를 다룰 때 다른 행성들의 거리를 표시할 때 지구-태양 거리의 몇 배와 같은 형식으로 표현하는 것이 좀 더 태양계를 다루거나 설명할 때 편리하기 때문에 이 값을 하나의 단위로 만들기 위해 천문 단위(Astronomical Unit, AU)라고 이름을 짓고 사용하고 있다.

$1 \rm AU = 1.5 \times 10^{11} \ {\rm m} = 1.5 \times 10^8 \ \rm km$

정확하게는 다음과 같은 값으로 정해서 사용하고 있다.

$\rm 1\ AU = 149\ 597\ 870\ 700 \ \pm \ 3 \ \rm m$

참고로 태양계 행성들의 평균 궤도 반지름을 AU의 값으로 표현하면 다음과 같다.

수성 0.39 AU
금성 0.72 AU
지구 1.00 AU
화성 1.52 AU
목성 5.19 AU
토성 9.53 AU
천왕성 19.20 AU
해왕성 30.00 AU

위의 값을 보면 해왕성은 지구-태양 거리의 30배에 해당하는 거리임을 쉽게 알 수 있다.

SI(국제단위계) 접두사

작성일자 2025-10-28 글쓴이 saegillab

응답

우리가 많이 사용하는 단위로 길이로는 m, cm, km, mm등을 사용하고 있고, 질량(또는 무게)의 단위로 g, kg등을 사용하고 있습니다.

길이의 표준 단위는 m입니다. 하지만 실용적으로 1 m보다 작은 길이에는 c와 m을 붙여 cm, mm라는 단위를 사용하고, 1 m보다 긴 단위로는 km를 사용합니다. 여기서 c, m, k를 특정한 값을 지니는 접두사로 쓰이는 것입니다. c는 센티라고 읽고 $10^{-2} =\frac{1}{100}$ , m은 밀리라고 읽고 $10^{-3} = \frac{1}{1\ 000}$ , k는 킬로라고 읽고 $10^3 = 1\ 000$ 을 의미합니다. 1 kg은 1 000 g을 의미합니다.

이 글에서는 과학에서 많이 사용하는 접두사를 모아 정리해 보겠습니다. 더 많은 접두사가 있지만 거의 사용하지 않아 꼭 필요한 것만을 정리했습니다. 더 자세한 내용은 ‘SI 접두사’라고 검색해보기 바랍니다.

1보다 작은 단위의 접두사

d(deci 데시) $10^{-1} = \frac{1}{10}$
c(centi 센티) $10^{-2} = \frac{1}{100}$
m(milli 밀리) $10^{-3} = \frac{1}{1\ 000}$
$\mu$ (micro 마이크로) $10^{-6} = \frac{1}{1\ 000\ 000}$
n(nano 나노) $10^{-9} = \frac{1}{1\ 000\ 000\ 000}$
p(pico 피코) $10^{-12} = \frac{1}{1\ 000\ 000\ 000\ 000}$
f(femto 펨토) $10^{-15} = \frac{1}{1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000}$
a(ato 아토) $10^{-18} = \frac{1}{1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000}$

1보다 큰 단위의 접두사

da(deca 데카) $10^1 = 10$
h(hecto 헥토) $10^2 = 100$
k(kilo 킬로) $10^3 = 1\ 000$
M(mega 메가) $10^6 = 1\ 000\ 000$
G(giga 기가) $10^9 = 1\ 000\ 000\ 000$
T(tera 테라) $10^{12} = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$
P(peta 페타) $10^{15} = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$
E(exa 엑사) $10^{18} = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$

단위 환산(conversion of unit)

작성일자 2025-10-24 글쓴이 saegillab

응답

우리가 일상 생활에서 사용하는 단위에는 여러 가지 종류가 있습니다. 예를 들어 길이의 단위로는 m(미터)를 표준으로 잡아 k(kilo, $=10^3$ ), c(centi, $10^{-2}$ ), m(milli, $10^{-3}$ )와 m앞에 SI(국제단위계) 접두사를 붙여 km, cm, mm등을 사용합니다. 하지만 미국에서는 길이의 단위로 inch, feet, yard, mile 등의 단위를 사용하고 있어 우리가 이런 단위를 쓸 때는 그 값을 정확하게 환산해줘야 할 경우가 많이 있습니다. 그런데 환산하다보면 헷갈릴 때가 있습니다. 이때 이용하는 것이 환산인자(conversion factor)입니다. 이 페이지에서는 환산인자를 이용하여 단위를 환산하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

우선 길이의 단위인 1 inch(기호로는 in으로 씁니다.)는 2.54 cm로 정의합니다.

$1~{\rm in} = 2.54~ {\rm cm}$

위 식의 양변을 각각 1 in, 2.54 cm로 각각 나누면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$1 = \frac{2.54~ \rm cm}{ 1~ \rm in} = \frac{1~\rm in}{2.54~ \rm cm}$

위의 ‘1’값을 환산 인자라고 합니다. 주의할 점을 1을 표시할 때 환산하는 단위는 반드시 표시해 주어야 합니다.

예를 들어 디스플레이의 대각선 길이가 8.01 inch인 태블릿의 길이를 cm로 환산할 때는 다음과 같은 과정을 거치며 계산을 하면 틀리지 않고 정확하게 계산할 수 있습니다.

$\begin{align*} \rm 8.01~in &= \rm 8.01~in \times 1 \\&=\rm 8.01~in \times \frac{2.54~cm}{1~in} \\&=\rm 8.01\times 2.54 ~cm \\&\rm \approx 20.35~cm\end{align*}$

위의 계산 과정을 보면 8.01 in에 1을 곱할 때 1의 값으로 분모에 in가 있고, 분자에 cm가 있는 값을 선택하면 in단위가 분자와 분모에서 단위가 제거되어 cm단위만 남고 나머지 숫자를 계산하여 cm로 환산하면 됩니다.

다시 예를 들어 20 cm를 in로 환산하면 다음과 같습니다.

$\begin{align*} \rm 20~cm &=\rm 20~cm \times 1 \\&=\rm 20~cm \times \frac{1~in}{2.54~cm} \\&=\rm \frac{20}{2.54} ~in \\&\rm \approx 7.87~in\end{align*}$

이제 여러 단위가 함께 들어있는 유도 단위를 환산하는 예를 보겠습니다. 우리가 자동차의 속력을 나타낼 때 주로 km/h의 단위를 사용합니다. 이 속력을 m/s로 환산하는 과정을 보겠습니다. 먼저 길이와 시간의 환산인자 1을 표시하면 다음과 같습니다.

$\rm 1 = \frac{1~km}{1\ 000~m} = \frac{1\ 000~m}{1~km}$

$\rm 1 = \frac{1~h}{3\ 600~s} = \frac{3\ 600~s}{1~h}$

위의 환산인자를 이용하여 72 km/h를 m/s로 환산하면 다음과 같습니다.

$\begin{align*}\rm 72~km/h &=\rm \frac{72~km}{1~h} \times 1 \times 1 \\&=\rm \frac{72~km}{1~h} \times \frac{1\ 000~m}{1~km} \times \frac{1~h}{3\ 600~s} \\&= \rm \frac{72\ 000}{3\ 600}~m/s = 20~m/s\end{align*}$

다른 예들은 환산해야 하는 상황이 나올 때마다 다시 설명하도록 하겠습니다.

오존의 생성

작성일자 2025-10-22 글쓴이 saegillab

응답

오존(ozone, 분자식 $\rm O_3$ )은 산소 원자 3개로 이루어져 있으며, 상온 대기압에서 푸른빛의 기체이다. 영하 112도 이하에서는 검푸른 액체이며, 영하 193도 이하로 내려가면 고체가 된다. 오존은 불안정하여 이원자의 산소로 분해되려는 경향이 있는데, 이러한 경향은 온도가 올라갈수록, 압력이 낮아질수록 강하다.

오존은 1785년, 네덜란드 화학자 마르티누스 반 마룸(Martinus van Marum)은 물 위에 전기 스파크를 일으켰을 때 이상한 냄새가 나는 것을 발견하였다.

1839년 독일의 화학자 크리스티안 쇤바인(Christian Friedrich Schönbein)은 냄새가 나는 기체를 분리해냈고 이를 ‘오존’이라고 이름을 붙였다.

오존층의 형성

태양에서 오는 자외선 중 약 200nm ~ 315nm 파장대의 자외선에 의해 산소를 산소 원자로 분해한다. 이때 우리에게 유해한 자외선이 흡수된다. 이렇게 생성된 산소 원자( $\rm O$ )가 다시 산소 분자( $\rm O_2$ )와 결합하여 오존이 형성되고 이 오존이 불안정하여 자외선에 의해 산소 산소 분자와 산소 원자로 다시 분해된다. 이런 과정을 거치면서 대기권의 오존층이 형성된다.

${\rm O_2} + hf \rightarrow {\rm 2O}$

${\rm O_2 + O \leftrightarrow O_3$

산소가 오존이 되고 오존이 산소가 될 때 열의 출입은 다음과 같다.

$\rm O_2 + energy \rightarrow 2 O$ : 흡열반응
$\rm O + O_2 \rightarrow O_3 + energy$ : 발열반응
$\rm O_3 + energy \rightarrow O + O_2$ : 흡열반응(빠른 반응)
$\rm O_3 + O \rightarrow 2O_2+energy$ : 발열반응(느린 반응)