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삼각 측량법

작성일자 2025-11-19 글쓴이 saegillab

[이 글은 강의를 위한 개략적인 내용을 포함하고 있습니다]

삼각함수를 이용하여 길이를 측정하는 방법을 삼각측량이라고 한다.

강 건너편에 있는 C점 까지의 수직 거리 $d$ 를 구해보자.

강 한편에서 A 와 B의 두 점을 잡고 거리를 측정하가 그 값이 $l$ 이라고 하자.

C와 $l$ 에 수직인 점 H 를 잡고 $\rm{\overline{AH}}$ 사이의 거리를 $x$ , $\rm{\overline{BH}}$ 사이의 거리를 $y$ 라고 하면

$l = x + y$

A에서 관측한 C까지의 각을 $\alpha$ , B에서 C를 관측한 각을 $\beta$ 라고 하면 탄젠트의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\tan{\alpha} = \frac{d}{x}$

$\tan{\beta} = \frac{d}{y}$

따라서 $x$ 와 $y$ 값은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x = \frac{d}{\tan\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} d$

$y = \frac{d}{\tan\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} d$

$l=x + y$ 이므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\begin{align*}l = x + y &= \left( \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \right) d \\ &= \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \sin \beta} d\\ &= \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha \sin\beta} d \end{align*}$

여기서 삼각함수의 합의 공식 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin \beta$ 를 이용하였다.

따라서 우리가 구하고자 하는 것은 $d$ 를 측정값 $l$ , $\alpha$ , $\beta$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$d = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\ l$

사인정리를 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\angle \rm{C}$ 를 $\gamma$ 라고 하면 삼각형의 내각의 합이 $180^{\circ}$ 이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta)$

각 $\alpha$ 의 대변의 길이를 $a$ , $\beta$ 의 대변을 $b$ 라고 하면 사인 정리에 의해 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{l}$

따라서 $a$ 와 $b$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$a= \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}\ l$

$b = \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\ l$

따라서 $d$ 를 $\alpha$ 를 이용하여 표시하면 다음과 같다.

$d = b \sin\alpha = \frac{\sin\alpha \sin \beta}{\sin\gamma}\ l$

$\sin(180^{\circ} - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$ 인 관계가 성립하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$d = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\ l$

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