y=a \sin x + b \cos x의 합성

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y= a \sin x + b \cos x와 같은 형태는 한 개의 삼각함수로 합성할 수 있다.

    \begin{equation*}\begin{aligned}y &= a \sin x + b \cos x \\&= \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)\end{aligned}\end{equation*}

\tan \alpha = \frac{b}{a}라고 하면 위의 그림과 같이 빗변의 길이는 \sqrt{a^2 + b^2}이 되고 \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}이 되므로 다음과 같이 변형할 수 있다.

    \begin{equation*}\begin{aligned}y &= \sqrt{a^2 + b^2 } (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) \\&= \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha) \end{aligned}\end{equation*}