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삼각함수와 항등식

작성일자 2025-10-21 글쓴이 saegillab

삼각함수(trigonometric function)의 정의와 삼각함수에 관련된 항등식을 알아보겠습니다.

위의 직각 삼각형에서 밑변을 $a$ , 높이를 $b$ , 빗면을 $c$ 라고 할 때 각 $\theta$ 에 대한 삼각함수 $\sin \theta$ , $\cos \theta$ , $\tan \theta$ 는 다음과 같이 정의된다.

$\sin \theta = \frac{b}{c}$

$\cos \theta = \frac{a}{c}$

$\tan \theta = \frac{b}{a}$

위의 세 가지 삼각비에 대한 역수를 다음과 같이 쓴다.

$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{c}{b}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{c}{a}$

$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{a}{b}$

이 직각 삼각형에는 피타고라스정리가 성립한다.

(1) $\begin{equation*}a^2 + b^2 = c^2\end{equation*}$

(1)식의 양변을 $c^2$ 으로 각각 나누면

$\left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = 1$

$\therefore \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

(1)식의 양변을 $a^2$ 으로 각각 나누면

$1 + \left( \frac{b}{a} \right)^2 = \left( \frac{c}{a} \right)^2$

$\therefore 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

(1)식의 양변을 $b^2$ 으로 각각 나누면

$\left( \frac{a}{b} \right)^2 + 1 = \left( \frac{c}{b} \right)^2$

$\therefore 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

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