고전역학적 근사

질량-에너지 등가 원리에 의해 물체의 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$E = mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

위의 식을 보면 고전적으로 이야기하는 물체의 운동 에너지는 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 으로 표현되는데, 위 식에서는 그런 형태가 보이지 않는다. 상대론적인 에너지와 고전역학에서의 운동에너지와 어떤 관계가 있는지 알아보자.

물체가 가지는 에너지의 식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2 /c^2}} = m_0 c^2 \left( 1- \frac{v^2}{c^2} \right)^{- \frac{1}{2}}$

수학에서 이항정리는 다음과 같이 표현된다.

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$

위의 식에서 $x$ 의 값이 아주 작을 때, 즉 $x << 1$ 일 때 다음과 같이 근사값을 구할 수 있다.

$(1 + x)^n \approx 1 + nx$

고전적으로 물체의 속력 $v$ 는 광속 $c$ 에 비해 아주 작으므로 다음과 같이 근사 시킬 수 있다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}E &= m_0 c^2 \left ( 1- \frac{v^2}{c^2}\right )^{-\frac{1}{2}} \\&\approx m_0 c^2 \left [ 1 - \left (-\frac{1}{2} \right ) \frac{v^2}{c^2} \right ] \\& = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2\end{aligned}\end{equation*}$

위의 식을 보면 상대론적인 에너지 $E=mc^2$ 에는 정지질량 에너지 $m_0 c^2$ 항과 고전적인 의미에서 운동에너지 $E_k = \frac{1}{2} m_0 v^2$ 의 합으로 표현되는 것을 알 수 있다.

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$E=mc^2 \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2}m_0 v^2$