맥클로린 급수

어떤 함수 $f(x)$ 가 미분 가능하고 다음과 같이 $x$ 에 대한 무한 급수로 표현할 수 있다고 가정하자.

(1) $\begin{equation*}f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \cdots\end{equation*}$

(1)식에 $x=0$ 을 입력하면 다음 $a_0$ 의 값을 구할 수 있다.

$a_0 = f(0)$

(1)식을 1차 미분을 구하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(2) $\begin{equation*}f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots\end{equation*}$

식(2)에 $x=0$ 을 입력하면 다음과 같다.

$a_1 = f'(0)$

마찬가지로 식(2)를 다시 미분하면 다음과 같다.

(3) $\begin{equation*}f''(x) = 2 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + \cdots\end{equation*}$

다시 $x=0$ 을 입력하면 $a_2$ 를 구할 수 있다.

$a_2 = \frac{ f''(0)}{2!}$

이와 같은 방식으로 나머지 계수를 구할 수 있고, 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots$

이런 형태로 무한 급수를 전개하는 방법을 Maclaurin(맥클로린)급수라고 한다.

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