SaegilLab

새길공작소

사인 정리, 코사인 정리

작성일자 2025-11-20 글쓴이 saegillab

응답

사인 정리

삼각형 ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세 변의 길이 $a$ , $b$ , $c$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\frac{\sin\rm{A}}{a} = \frac{\sin\rm{B}}{b} = \frac{\sin\rm{C}}{c}$

삼각형의 면적을 $S$ 라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$S = \frac{1}{2} ab \sin\rm{C} = \frac{1}{2} \it bc \sin\rm{A} = \frac{1}{2} \it ca\sin\rm{B}$

위 식을 각각 $abc$ 로 나누면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

$\frac{\sin\rm{A}}{a} = \frac{\sin\rm{B}}{b} = \frac{\sin\rm{C}}{c}$

코사인 정리

삼각형 ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세 변의 길이 $a$ , $b$ , $c$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\rm{A}$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\rm{B}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\rm{C}$

A에서 $\overline{\rm{BC}}$ 에 수선을 긋고 그 점을 H라고 하자. 삼각형에서 다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

$\overline{\rm{AH}} = b \sin\rm{C}$

$\overline{\rm{HC}} = b \cos\rm{C}$

$\overline{\rm{BH}} = a - b \cos\rm{C}$

직각 삼각형 ABH에 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

$\begin{align*}c^2 & = \overline{\rm{BH}}^2 + \overline{\rm{AH}}^2 \\ & = (a - b\cos\rm{C})^2 + (b \sin\rm{C})^2 \\ & = a^2 - 2ab\cos\rm{C} + b^2 \cos^2\rm{C} + b^2 \sin^2\rm{C} \\ & = a^2 -2ab\cos\rm{C} + b^2 (\cos^2\rm{C} + \sin^2\rm{C}) \\ & = a^2 + b^2 - 2ab\cos\rm{C}\end{align*}$

여기서 $\cos^2\rm{C} + \sin^2\rm{C} = 1$ 이라는 관계식을 이용하였다. [삼각함수와 항등식]

나머지 $a^2$ , $b^2$ 의 값도 위와 같은 방식으로 구할 수 있다.