삼각함수의 덧셈정리

오일러의 식 [link]

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

위의 식에서 $x$ 대신 $\alpha + \beta$ 를 입력하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i \alpha} e^{i \beta} = \cos (\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)$

$\begin{equation*}\begin{aligned}e^{i \alpha } e^{i \beta} &= (\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta + i \sin \beta) \\& = \cos \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\& = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) + i (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)\end{aligned}\end{equation*}$

따라서 삼각함수의 덧셈정리를 얻을 수 있다.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

윗 식에 $\beta$ 대신 $-\beta$ 를 입력하면 뺄셈정리를 얻을 수 있다.

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos\alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

위의 그림과 같이 반지름이 1인 단위원에서 각도 $\alpha$ 만큼 회전 시킨 점을 A라고 할 때 A의 좌표는 $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 가 된다. 이 A점을 각도 $\beta$ 만큼 더 회전 시킨 점 B의 좌표는 $(\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))$ 가 된다.

$\rm{A} (\cos \alpha, \sin \alpha)$

$\rm{B} (\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))$

점 B에서 $\overline{\rm OA}$ 에 그은 수선의 발을 H라고 하자.

점 B에서 $x$ 축에 그은 수선의 발을 B’, H에서 $x$ 축에 그은 수선의 발을 H’, H에서 $\overline{\rm BB'}$ 에 그은 수선의 발을 H”이라고 하자.

삼각형 OB’C와 삼각형 BHC는 닮은 삼각형이므로 $\angle {\rm HBH''} = \alpha$ 가 된다.

직각삼각형 OHB에서 선분 $\overline{\rm BH}$ 의 크기는 $\sin \beta$ 가 되고, 선분 $\overline{\rm OH}$ 의 크기는 $\cos \beta$ 가 된다.

$\overline{\rm BH} = \sin \beta$

$\overline{\rm OH} = \cos \beta$

삼각형 OHH’에서 선분 $\overline{\rm HH'} = \overline{\rm OH} \sin \alpha =\cos \beta \sin \alpha$ 가 되며 이 크기는 선분 $\overline{\rm H''B'}$ 의 크기와 같다. 그리고 $\overline{\rm OH'} = \overline{\rm OH} \cos \alpha = \cos \beta \cos \alpha$ 가 된다.

$\overline{\rm H''B'} = \overline{\rm HH'} = \cos \beta \sin \alpha$

$\overline{\rm OH'} = \cos \beta \cos \alpha$

삼각형 BHH”에서 $\overline{\rm HH''} = \overline{\rm BH} \sin \alpha = \sin \beta \sin \alpha$ 가 되며 이 크기는 선분 $\overline{\rm B'H'}$ 의 크기와 같다. 그리고 $\overline{\rm BH''} = \overline{\rm BH} \cos \beta = \sin \beta \cos \alpha$ 가 된다.

$\overline{\rm B'H'} = \overline{\rm HH''} = \sin \beta \sin \alpha$

$\overline{\rm BH''} = \sin \beta \cos \alpha$

$\overline{\rm BB'} = \sin (\alpha + \beta ) = \overline{\rm BH''} + \overline{\rm H''B'}$ 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\sin(\alpha + \beta) = \overline{\rm BH''} + \overline{\rm H''B'} = \sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha$

$\overline{\rm OB'} = \cos (\alpha + \beta) = \overline{\rm OH'} - \overline{\rm B'H'}$ 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\cos (\alpha + \beta) = \overline{\rm OH'} - \overline{\rm B'H'} = \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha$

$\sin$ 함수와 $\cos$ 함수의 덧셈 정리는 다음과 같이 정리할 수 있다.

(1) $\begin{equation*}\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{equation*}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}$ 이므로 다음과 같이 $\tan$ 의 덧셈정리를 구할 수 있다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}\tan (\alpha + \beta) & = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \\&=\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\\end{equation*}$