삼각함수 f(x) = sin x 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = \sin x$

$\begin{align*}f'(x) &= (\sin x)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x-h)}{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - (\sin x \cos h - \cos x \sin h) }{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos x \sin h}{2h} \\&= \cos x \times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h} \\&= \cos x\end{align*}$

여기서 사용한 공식은 다음과 같다.

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

삼각함수 f(x) = cos x 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = \cos x$

$\begin{align*}f'(x) &= (\cos x)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x+h) - \cos(x-h)}{2h} \\& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\cos x \cos h - \sin x \sin h) - (\cos x \cos h + \sin x \sin h) }{2h} \\& = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2 \sin x \sin h}{2h} \\& = -\sin x \times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h} \\& = -\sin x\end{align*}$

여기에서 다음 공식을 사용하였다.

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

삼각함수 f(x) = tan x 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\begin{align*}f'(x) &= (\tan x )' = \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)' \\&= \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\&= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\&= \frac{1}{\cos^2 x} \\&= \sec^2 x\end{align*}$