피타고라스정리

위와 같은 직각삼각형에 대해서 세 변 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

$a^2 + b^2 = c^2$

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 현재 알려진 것만 해도 400여 가지인 것으로 알고 있습니다. 제가 중학교 다닐 때 공부한 방법은 유클리트의 증명법이었는데 무척 어려웠던 기억이 납니다. 현재 중학교에서는 보다 간단한 방법으로 증명하고 있는 것으로 알고 있습니다.

이 블로그에서는 간단한 피타고라스 정리 3가지를 소개합니다.

증명 1

위의 직각삼각형 4개를 위와 같이 배열하였을 때 전체 면적은 다음과 같다.

$(a+b)^2 = \frac{1}{2} ab \times 4 + c^2$

위 식을 전개하면

$a^2 + 2 ab + b^2 = 2 ab + c^2$

$\therefore a^2 + b^2 = c^2$

증명 2

처음의 직각삼각형을 위와 같이 배열하면 중간의 정사각형의 한 변의 길이는 $b-a$ 가 되며 전체 면적은 다음과 같다.

$\begin{align*}c^2 &= \frac{1}{2}ab \times 4\ + (b-a)^2\\&= 2ab + b^2 - 2ab + a^2\end{align*}$

$\therefore a^2 + b^2 = c^2$

증명 3 – 미국 20대 대통령이었던 제임스 가필드의 증명법입니다.

직각 삼각형 2개를 위와 같이 배열하고 사다리꼴로 만듭니다. 사다리꼴은 밑변이 $b$ , 윗변이 $a$ , 높이가 $a+b$ 가 되므로 면적은 다음과 같습니다.

$\frac{1}{2}(a+b)\times (a+b) = \frac{1}{2} ab \times 2 + \frac{1}{2}c^2$

$\frac{1}{2}$ 을 약분하고 전개하면

$a^2 + 2 ab + b^2 = 2ab + c^2$

$\therefore a^2 + b^2 = c^2$

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