함수의 곱 $f(x)g(x)$의 미분

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 곱 $f(x)g(x)$ 의 미분

$\begin{equation*}\begin{align*}&[f(x)g(x)]' \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \left \{ \frac{[f(x+h) - f(x)]g(x+h)}{h} + \frac{f(x) [g(x+h) - g(x)]}{h} \right\} \\& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} g(x+h) + \lim_{h \rightarrow 0} f(x) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\&= f'(x) g(x) + f(x)g'(x)\end{align*}\end{equation*}$

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함수의 곱 $f(x)g(x)$ 의 미분