$E=mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$E=mc^2$

시간에 따른 에너지의 변화량은 일률과 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{dE}{dt} &= c^2 \frac{dm}{dt} \\&= \bf{F} \cdot \bf{v} \\&=\it \frac{d\bf{p}}{\it dt} \cdot \bf{v} \\&= \it \frac{dm}{dt} \bf{v} \cdot v + \it m \frac{d\bf{v}}{dt} \cdot \bf{v} \\&= \it \frac{dm}{dt} v^{\rm 2} + \frac{m}{\rm{2}} \frac{dv^{\rm 2}}{dt} \end{aligned}\end{equation*}$

위 식을 다시 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(c^2 - v^2) \frac{dm}{dt} = \frac{m}{2} \frac{dv^2}{dt}$

양변의 $dt$ 를 제거하고 왼쪽은 변수 $m$ 으로, 오른쪽은 변수 $v^2$ 으로 변수를 분리하여 표현하면 다음과 같다.

$\frac{dm}{m} = \frac{dv^2}{2(c^2 - v^2)}$

$c^2 - v^2 = x$ 라고 하면 $-dv^2 = dx$ 이므로 위의 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{dm}{m} = - \frac{dx}{2x}$

$v=0$ 일 때 $m=m_0$ , $x=c^2$ 이고, 속력이 $v$ 일 때 질량은 $m$ , $x = c^2 - v^2$ 이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.

$\int_{m_0}^m \frac{dm}{m} = -\int_{c^2}^{c^2 - v^2} \frac{dx}{2x} = \int_{c^2 - v^2}^{c^2} \frac{dx}{2x}$

$\ln \left( \frac{m}{m_0}\right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{c^2}{c^2 - v^2}\right) = \ln \sqrt{\frac{c^2}{{c^2 - v^2}}} = \ln \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$\therefore \quad m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$\therefore \quad E=mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

SaegilLab

새길공작소

$E=mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$