[latexpage] $ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 증명

$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$

위와 같이 반지름이 1인 원을 그리고 각도 $\theta$ 를 잡으면 작은 삼각형의 높이 $\sin\theta$ , 호의 길이 $\theta$ , 큰 삼각형의 높이 $\tan\theta$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\sin\theta < \theta < \tan \theta$

$\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta$ 이고, 각 변을 $\sin\theta$ 로 나누면 다음과 같다.

$1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos\theta}$

각 항의 역수를 구하면 부등호의 방향이 바뀌며 다음과 같은 관계가 성립한다.

$1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos \theta$

$\theta \rightarrow 0$ 일 때 $\cos \theta \rightarrow 1$ 이므로 샌드위치 정리에 의해

$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$

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