[latexpage] $\pi$의 계산(Leibnitz공식, Machin공식)

이항정리

$|x| < 1$ 일 때

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$

Leibnitz(라이프니츠) 공식

$\frac{1}{1+x^2}$ 을 이항정리로 전개시키면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\begin{align*}\frac{1}{1+x^2} &= (1 + x^2 )^{-1}\\&= 1 - x^2 + \frac{(-1)(-2)}{2!}x^4 + \frac{(-1)(-2)(-3)}{3!}x^6 + \cdots \\&= 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots\end{align*}$

위 식을 $0$ 에서 $x$ 까지 적분하면 다음과 같다.

$\begin{align*}\int_0^x \frac{1}{1 + x^2} dx &= \int_0^x ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots )dx\end{align*}$

위의 식에서 오른쪽 적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{align*}x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \cdots \end{align*}$

왼쪽 적분을 하기 위해 $x=\tan \theta$ 라고 하면 $dx = \sec^2 \theta d\theta$ , $1+x^2 = 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ 이므로

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \theta + {\rm C} = \arctan x + {\rm C}$

$\begin{align*}\int_0^x \frac{1}{1 + x^2} dx= \arctan x\end{align*}$

$\arctan x =x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \cdots$

위의 식에서 $x$ 의 값을 음(-)의 방향에서 1로 가까이 보내면(즉, $x \rightarrow 1^-$ ) 다음 식을 얻을 수 있다.

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

Machin(마친) 공식

$\tan \alpha = \frac{1}{5}$ 라고 하면

$\begin{align*}\tan (2\alpha) &= \frac{2 \tan \alpha}{ 1 - \tan^2 \alpha} \\&= \frac{2\times \frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{5}{12}\end{align*}$

$\begin{align*}\tan (4\alpha) &= \tan(2 \times 2\alpha) \\&= \frac{2 \tan 2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha } \\ &=\frac{2 \times \frac{5}{12}}{1-\left( \frac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119} \approx 1\end{align*}$

따라서 $4\alpha \approx \frac{\pi}{4}$ 인 것을 알 수 있다.

$\frac{\pi}{4}= 4\alpha - \beta$ 라고 하면

$\begin{align*}\tan \beta &= \tan \left( 4\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \\&= \frac{\tan 4\alpha - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan 4\alpha \cdot \tan \frac{\pi}{4}} \\&= \frac{\frac{120}{119}-1}{1+ \frac{120}{119} }\\&= \frac{1}{239}\end{align*}$