$\pi$ 의 계산(Leibnitz공식, Machin공식)

작성일자 2025-10-17 글쓴이 saegillab

이항정리

$|x| < 1$ 일 때

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$

Leibnitz(라이프니츠) 공식

$\frac{1}{1+x^2}$ 을 이항정리로 전개시키면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\begin{align*}\frac{1}{1+x^2} &= (1 + x^2 )^{-1}\\&= 1 - x^2 + \frac{(-1)(-2)}{2!}x^4 + \frac{(-1)(-2)(-3)}{3!}x^6 + \cdots \\&= 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots\end{align*}$

위 식을 $0$ 에서 $x$ 까지 적분하면 다음과 같다.

$\begin{align*}\int_0^x \frac{1}{1 + x^2} dx &= \int_0^x ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots )dx\end{align*}$

위의 식에서 오른쪽 적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{align*}x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \cdots \end{align*}$

왼쪽 적분을 하기 위해 $x=\tan \theta$ 라고 하면 $dx = \sec^2 \theta d\theta$ , $1+x^2 = 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ 이므로

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \theta + {\rm C} = \arctan x + {\rm C}$

$\begin{align*}\int_0^x \frac{1}{1 + x^2} dx= \arctan x\end{align*}$

$\arctan x =x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \cdots$

위의 식에서 $x$ 의 값을 음(-)의 방향에서 1로 가까이 보내면(즉, $x \rightarrow 1^-$ ) 다음 식을 얻을 수 있다.

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

Machin(마친) 공식

$\tan \alpha = \frac{1}{5}$ 라고 하면

$\begin{align*}\tan (2\alpha) &= \frac{2 \tan \alpha}{ 1 - \tan^2 \alpha} \\&= \frac{2\times \frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{5}{12}\end{align*}$

$\begin{align*}\tan (4\alpha) &= \tan(2 \times 2\alpha) \\&= \frac{2 \tan 2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha } \\ &=\frac{2 \times \frac{5}{12}}{1-\left( \frac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119} \approx 1\end{align*}$

따라서 $4\alpha \approx \frac{\pi}{4}$ 인 것을 알 수 있다.

$\frac{\pi}{4}= 4\alpha - \beta$ 라고 하면

$\begin{align*}\tan \beta &= \tan \left( 4\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \\&= \frac{\tan 4\alpha - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan 4\alpha \cdot \tan \frac{\pi}{4}} \\&= \frac{\frac{120}{119}-1}{1+ \frac{120}{119} }\\&= \frac{1}{239}\end{align*}$

$\begin{align*}\therefore \beta = \arctan\frac{1}{239}\end{align}$

$\frac{\pi}{4} = 4\alpha -\beta$ 이므로

$\begin{align*}\frac{\pi}{4} &= 4\alpha - \beta \\& = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} \end{align*}$

$\therefore \frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 3

작성일자 2025-10-11 글쓴이 saegillab

응답

위의 그림은 반지름이 $r$ 인 원을 12등분하고 내부에 12개의 삼각형을 그린 그림이다. 이 경우 원의 중심에서 삼각형의 중심각은 $\frac{2\pi}{12}$ 한 변의 길이가 각각 $r$ 인 삼각형이 되므로 1개의 삼각형의 면적 $S_1$ 은 다음과 같다.

$S_1 = \frac{1}{2}r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{12} \right)$

위의 경우를 더 일반화 시켜 원을 정 $n$ 각형으로 근사시켰을 때 $n$ 개의 삼각형으로 나타낼 수 있다. 그 삼각형 1개의 면적을 $S_1$ 이라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.

$S_1 = \frac{1}{2} r^2 \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)$

각각의 삼각형을 모두 더한 삼각형의 면적을 $S_n$ 이라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$S_n = n \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{n} \right)$

$n$ 을 무한대로 보내면 $S_n$ 은 원의 면적 $S$ 로 근사시킬 수 있다.

$S= \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{1}{2} r^2 \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)$

$\frac{2\pi}{n} = \theta$ 라고 하면 $n= \frac{2\pi}{\theta}$ 가 되고 $n \rightarrow \infty$ 일 때 $\theta \rightarrow 0$ 이가 되므로 원의 면적은 다음과 같이 구할 수 있다.

$S = \frac{1}{2} r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \pi}{\theta} \sin \theta = \pi r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$

$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ [link]이므로 원의 면적은 다음과 같다.

$S= \pi r^2$

원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 2

작성일자 2025-10-11 글쓴이 saegillab

응답

중심이 원점인 원에 대해 1사분면의 면적 $S_1$ 을 구하고 4배를 해서 원의 면적을 구한다.

원점을 중심으로 하는 원의 방정식은 $x^2 + y^2 = r^2$ 이므로 $x$ 일 때의 $y$ 값은 다음과 같이 주어진다.

$y=\sqrt{r^2 - x^2}$

1사분에서 면적 요소 $dS_1$ 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$dS_1 = y dx = \sqrt{r^2-x^2} dx$

$\therefore S_1 = \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} dx$

$x = r \cos\theta$ 라고 하면 $x=0$ 일 때 $\theta= \frac{\pi}{2}$ , $x=r$ 일 때 $\theta=0$ 이 되는 것을 알 수 있고 다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

$dx = -r \sin \theta d\theta$

$\sqrt{r^2 - x^2} = r \sin \theta$

$\therefore S_1 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} r \sin \theta (- r \sin \theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sin^2\theta d\theta$

$\cos 2\theta = 1- 2 \sin^2 \theta$ 라는 관계가 성립하므로

$S_1 = r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{r^2}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right] _0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\pi r^2$