[latexpage] 원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 3

위의 그림은 반지름이 $r$ 인 원을 12등분하고 내부에 12개의 삼각형을 그린 그림이다. 이 경우 원의 중심에서 삼각형의 중심각은 $\frac{2\pi}{12}$ 한 변의 길이가 각각 $r$ 인 삼각형이 되므로 1개의 삼각형의 면적 $S_1$ 은 다음과 같다.

$S_1 = \frac{1}{2}r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{12} \right)$

위의 경우를 더 일반화 시켜 원을 정 $n$ 각형으로 근사시켰을 때 $n$ 개의 삼각형으로 나타낼 수 있다. 그 삼각형 1개의 면적을 $S_1$ 이라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.

$S_1 = \frac{1}{2} r^2 \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)$

각각의 삼각형을 모두 더한 삼각형의 면적을 $S_n$ 이라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$S_n = n \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{n} \right)$

$n$ 을 무한대로 보내면 $S_n$ 은 원의 면적 $S$ 로 근사시킬 수 있다.

$S= \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{1}{2} r^2 \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)$

$\frac{2\pi}{n} = \theta$ 라고 하면 $n= \frac{2\pi}{\theta}$ 가 되고 $n \rightarrow \infty$ 일 때 $\theta \rightarrow 0$ 이가 되므로 원의 면적은 다음과 같이 구할 수 있다.

$S = \frac{1}{2} r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \pi}{\theta} \sin \theta = \pi r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$

$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ [link]이므로 원의 면적은 다음과 같다.

$S= \pi r^2$

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