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원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 2

작성일자 2025-10-11 글쓴이 saegillab

중심이 원점인 원에 대해 1사분면의 면적 $S_1$ 을 구하고 4배를 해서 원의 면적을 구한다.

원점을 중심으로 하는 원의 방정식은 $x^2 + y^2 = r^2$ 이므로 $x$ 일 때의 $y$ 값은 다음과 같이 주어진다.

$y=\sqrt{r^2 - x^2}$

1사분에서 면적 요소 $dS_1$ 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$dS_1 = y dx = \sqrt{r^2-x^2} dx$

$\therefore S_1 = \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} dx$

$x = r \cos\theta$ 라고 하면 $x=0$ 일 때 $\theta= \frac{\pi}{2}$ , $x=r$ 일 때 $\theta=0$ 이 되는 것을 알 수 있고 다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

$dx = -r \sin \theta d\theta$

$\sqrt{r^2 - x^2} = r \sin \theta$

$\therefore S_1 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} r \sin \theta (- r \sin \theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sin^2\theta d\theta$

$\cos 2\theta = 1- 2 \sin^2 \theta$ 라는 관계가 성립하므로

$S_1 = r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{r^2}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right] _0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\pi r^2$

$\therefore S = 4S' = 4 \cdot \frac{1}{4} \pi r^2 = \pi r^2$

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