미분의 정의

[이 글은 고등학교 수학을 기반으로 대학에서 물리학을 공부하기 위한 학생들을 위한 자료입니다.]

어떤 함수 $f(x)$ 에서 어느 점 $x$ 에서의 접선의 기울기

(1) $\begin{equation*}f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\end{equation*}$

예제 : $f(x) =x^2$

[정의 1]

$\begin{align*}f'(x) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} (2x + h) \\&= 2x\end{align*}$

[정의 2]

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 - (x-h)^2}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 - (x^2 - 2xh +h^2)}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh - h^2}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} (2x - h) \\&= 2x\end{align*}$

[정의 3]

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rigntarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 - (x-h)^2}{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - (x^2 - 2xh + h^2)}{2h}\\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{4xh}{2h} \\&= 2x \end{align*}$

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