자연 상수 e

[이 글은 강의를 위해 미리 작성해보는 자료입니다.]

자연 상수 $e$ 의 정의

$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n$

이 상수는 처음에는 복리 이자를 계산할 때 나온 개념입니다.

복리 이자 계산 법

수령액 = 원금 + 원금*이율=원금(1+이율)

어느 은행에서 1만큼의 예금을 넣었을 때 1년 뒤 원금의 100%인 1을 추가로 준다고 가정하겠습니다.

$(n=1) : 1 \times (1 + 1) = 2$

이 금액을 1년의 $\frac{1}{2}$ 인 6개월 후 이자 $\frac{1}{2}$ 을 합한 값을 받고 바로 입금하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$(n=2) : \left( 1 + \frac{1}{2}\right )\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.25$

다시 1년을 다시 $\frac{1}{3}$ 으로 쪼개 다시 이자와 원금을 입금하는 것을 반복하면 다음과 같이 계산됩니다.

$(n=3) : \left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)=\left(1 + \frac{1}{3}\right)^3 \approx 2.37$

1년을 다시 $\frac{1}{4}$ 으로 쪼개 반복하면 다음과 같이 계산된다.

$(n=4) : (1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2.44$

위의 계산 결과를 보면 받게 되는 금액이 늘어나는데 최대 얼마를 받을 것인지를 계산하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 2.718\ 281\ 828\cdots$

이 수는 무리수인 것이 확인되었고, 이 상수를 자연 상수 또는 오일러 상수라고 부릅니다.

위에서는 자연수 $n$ 에 대해서 표시했지만 실수 $x$ 로 표현한다면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$e = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + x\right)^{\frac{1}{x}$

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