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지수함수 $f(x)=e^x$ 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = e^x$

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} \\& = e^x \lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^h - 1}{h} \\& = e^x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left [ (1+h)^\frac{1}{h} \right ]^h - 1}{h} \\& = e^x \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h) - 1}{h} \\& = e^x\end{align*}$

여기에서는 다음의 자연상수 $e$ 의 정의가 사용되었다.

$e = \lim_{h \rightarrow 0} (1 + h)^\frac{1}{h}$