지수함수 $f(x)=a^x$의 미분

$f(x) = a^x$

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^x(a^h - 1)}{h}\\&= a^x \times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^h - 1}{ h}\end{align*}$

$a^h - 1 =t$ 라고 하면 $a^h = 1 + t$ 가 되며 이 식의 양변에 자연로그를 취하면 다음과 같다.

$\ln a^h = h \ln a = \ln (1+t)$

$h = \frac{\ln (1+t)}{\ln a}$

$h \rightarrow 0$ 일 때 $t \rightarrow 0$ 이 되므로 $f'(x)$ 는 다음과 같이 표시할 수 있다.

$\begin{align*}f'(x) &= a^x \times \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\frac{\ln (1+t)}{\ln a}} \\&= a^x \ln a \times \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \ln(1+t)} \\&= a^x \ln a \times \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{\ln(1+t)^\frac{1}{t}} \\&= a^x \ln a \times \frac{1}{\ln e} \\&= a^x \ln a\end{align*}$

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