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삼각함수의 여러 공식

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삼각함수의 덧셈 뺄셈 공식 – [link1] [link2]

    \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]

    \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \]

    \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]

    \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]

2배각 공식

    \[ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \]

    \begin{equation*}\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\&= 1-2\sin^2 \alpha \\&= 2\cos^2 \alpha - 1\end{aligned}\end{equation*}

    \[ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \]

\cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpah -1에서 \sin^2 \alpha, \cos^2 \alpha를 구하면 다음과 같다.

    \[ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}\]

    \[ \cos^2 \alpha = \frac{1+ \cos 2\alpha}{2} \]

반각 공식

위의 공식에서 \alpha 대신 \frac{\alpha}{2}를 대입하면 반각 공식을 얻을 수 있다.

    \[ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}\]

    \[ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}\]

    \[ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1-\cos \alpha}{1+ \cos \alpha} \]

삼각함수의 덧셈공식과 뺄셈공식의 합과 차를 이용하면 두 삼각함수의 곱을 삼각함수의 합과 차로 변형할 수 있다.

    \[ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\} \]

    \[ \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\} \]

    \[ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\} \]

    \[ \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{\cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\} \]

삼각함수의 덧셈공식과 뻴셈공식에서 \alpha + \beta = {\rm A}, \alpha - \beta = \rm{B}라고 하면 {\alpha = \rm \frac{A+B}{2}, {\beta = \rm \frac{A-B}{2}로 표시할 수 있으므로 다음과 같이 삼각함수의 합, 차를 삼각함수들의 곱으로 변형할 수 있다.

    \[ \sin {\rm A} + \sin {\rm B} = \rm 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

    \[ \sin {\rm A} - \sin {\rm B} = \rm 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \]

    \[ \cos {\rm A} + \cos {\rm B} = \rm 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

    \[ \cos {\rm A} - \cos {\rm B} = - \rm 2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \]