태그 보관물: 삼각함수

삼각함수와 항등식

작성일자 글쓴이
응답

삼각함수(trigonometric function)의 정의와 삼각함수에 관련된 항등식을 알아보겠습니다.

위의 직각 삼각형에서 밑변을 a, 높이를 b, 빗면을 c라고 할 때 각 \theta에 대한 삼각함수 \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta는 다음과 같이 정의된다.

    \[ \sin \theta = \frac{b}{c} \]

    \[ \cos \theta = \frac{a}{c} \]

    \[ \tan \theta = \frac{b}{a} \]

위의 세 가지 삼각비에 대한 역수를 다음과 같이 쓴다.

    \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{c}{b} \]

    \[ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{c}{a} \]

    \[ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{a}{b} \]

이 직각 삼각형에는 피타고라스정리가 성립한다.

(1)   \begin{equation*}a^2 + b^2 = c^2\end{equation*}

(1)식의 양변을 c^2으로 각각 나누면

    \[ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = 1 \]

    \[ \therefore \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \]

(1)식의 양변을 a^2으로 각각 나누면

    \[ 1 + \left( \frac{b}{a} \right)^2 = \left( \frac{c}{a} \right)^2 \]

    \[ \therefore 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \]

(1)식의 양변을 b^2으로 각각 나누면

    \[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 + 1 = \left( \frac{c}{b} \right)^2 \]

    \[ \therefore 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \]