원의 면적 S=\pi r^2 증명 1

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원의 면적을 구하기 위해 반지름이 r인 원을 그리고 미소반지름 dr만큼 더 큰 원을 그렸을 때 그 사이의 미소면적을 dS라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[ dS = 2 \pi r dr \]

전체 면적을 계산하기 위해 r을 0에서 r까지 적분하면 다음과 같이 원의 면적을 계산할 수 있다.

    \[ S = \int_0^r dS = \int_0^r 2\pi r dr = 2 \pi \left [ \frac{1}{2} r^2 \right ]_0^r = \pi r^2 \]

\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 증명

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    \[\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1\]

위와 같이 반지름이 1인 원을 그리고 각도 \theta를 잡으면 작은 삼각형의 높이 \sin\theta, 호의 길이 \theta, 큰 삼각형의 높이 \tan\theta사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

    \[\sin\theta < \theta < \tan \theta \]

\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta이고, 각 변을 \sin\theta로 나누면 다음과 같다.

    \[ 1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos\theta} \]

각 항의 역수를 구하면 부등호의 방향이 바뀌며 다음과 같은 관계가 성립한다.

    \[ 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos \theta \]

\theta \rightarrow 0일 때 \cos \theta \rightarrow 1이므로 샌드위치 정리에 의해

    \[ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \]

LaTeX 연습 2

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\LaTeX연습용 2

At first, we sample f(x) in the N (N is odd) equidistant points around x^*:

    \[f_k = f(x_k), \:x_k = x^* + kh, \:k=-\frac{N-1}{2}, \dots, \frac{N-1}{2}\]

where h is some step.

Then we interpolate points \{(x_k, f_k)\} by polynomial

(1)   \begin{equation*} P_{N-1}(x) = \sum_{j=0}^{N-1}{a_jx^j}\end{equation*}

It’s cofficients \{a_j\} are found as a solution of system of linear equations:

(2)   \begin{equation*} \left\{ P_{N-1} (x_k) = f_k \right\}, \quad k= -\frac{N-1}{2}, \dots , \frac{N-1}{2}\end{equation*}

Here are references to existing equations: (1), (2).

Here is reference to non-existing equation (??).