상태 변화와 에너지 흡수 & 방출

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물질의 상태

고체 – 입자들이 규칙적으로 빽빽하게 배열. 운동이 활발하지 않음. 모양과 부피가 거의 일정.

액체 – 분자들이 고체보다 덜 규칙적으로 배열. 비교적 자유로운 운동. 담긴 용기에 따라 모양이 변화. 부피는 거의 일정(온도 영향).

기체 – 입자들이 매우 불규칙하게 배열. 매우 자유로운 운동. 모양과 부피가 모두 일정하지 않음. 쉽게 압축 가능.

상태 변화 : 주로 온도와 압력에 따라 물질이 고체, 액체, 기체 상태로 변하는 현상

융해 : 고체 물질이 에너지를 흡수(분자 운동에너지 증가)하여 분자 사이의 인력을 끊고 비교적 자유롭게 움직일 수 있는 액체로 변하는 상태 변화
예 : 얼음이 녹아 물이 됨. 굳어지 삼겹살 기름이 열을 가하면 녹아 액체로 변함…

기화 : 액체 물질이 에너지를 흡수(분자 운동에너지 증가)하여 분자들이 자유롭게 움직일 수 있는 기체로 변하는 상태 변화
예 : 물이 끓어 수증기가 됨. 소독용 알코올을 바르면 시원해지면서 기체로 되어 날아감. 에어컨 냉매의 기화…

액화 : 운동이 활발한 기체가 에너지를 방출(분자 운동에너지 감소)하며 액체로 변하는 상태 변화
예 : 차가운 물체에 물방울이 맺힘(수증기 → 물)…

응고 : 비교적 자유로운 운동을 하는 액체 상태에서 에너지를 방출(분자 운동에너지 감소)하며 고체로 변하는 상태 변화
예 : 물이 얼음이 됨. 뜨거운 삼겹살 기름이 식으면 하얀 기름으로 변함. 똑딱이 핫팩(초산염)

승화(고 →기) : 고체가 에너지를 흡수(분자 운동에너지 증가)하여 운동이 활발한 기체로 변하는 상태 변화
예 : 나프탈렌의 승화, 드라이아이스의 승화…

승승화(기→고) : 기체가 에너지를 방출(분자 운동에너지 감소)하여 고체로 변하는 상태 변화
예 : 겨울철 서리, 겨울철 나뭇가지의 상고대

물의 상태도

물의 삼중점

동영상 출처 : https://youtu.be/Juz9pVVsmQQ?si=gCIvynfGAU7JNTDt

삼각함수와 항등식

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삼각함수(trigonometric function)의 정의와 삼각함수에 관련된 항등식을 알아보겠습니다.

위의 직각 삼각형에서 밑변을 a, 높이를 b, 빗면을 c라고 할 때 각 \theta에 대한 삼각함수 \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta는 다음과 같이 정의된다.

    \[ \sin \theta = \frac{b}{c} \]

    \[ \cos \theta = \frac{a}{c} \]

    \[ \tan \theta = \frac{b}{a} \]

위의 세 가지 삼각비에 대한 역수를 다음과 같이 쓴다.

    \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{c}{b} \]

    \[ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{c}{a} \]

    \[ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{a}{b} \]

이 직각 삼각형에는 피타고라스정리가 성립한다.

(1)   \begin{equation*}a^2 + b^2 = c^2\end{equation*}

(1)식의 양변을 c^2으로 각각 나누면

    \[ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = 1 \]

    \[ \therefore \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \]

(1)식의 양변을 a^2으로 각각 나누면

    \[ 1 + \left( \frac{b}{a} \right)^2 = \left( \frac{c}{a} \right)^2 \]

    \[ \therefore 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \]

(1)식의 양변을 b^2으로 각각 나누면

    \[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 + 1 = \left( \frac{c}{b} \right)^2 \]

    \[ \therefore 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \]

피타고라스 정리

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위와 같은 직각삼각형에 대해서 세 변 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

    \[ a^2 + b^2 = c^2\]

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 현재 알려진 것만 해도 400여 가지인 것으로 알고 있습니다. 제가 중학교 다닐 때 공부한 방법은 유클리트의 증명법이었는데 무척 어려웠던 기억이 납니다. 현재 중학교에서는 보다 간단한 방법으로 증명하고 있는 것으로 알고 있습니다.

이 블로그에서는 간단한 피타고라스 정리 3가지를 소개합니다.

증명 1

위의 직각삼각형 4개를 위와 같이 배열하였을 때 전체 면적은 다음과 같다.

    \[ (a+b)^2 = \frac{1}{2} ab \times 4 + c^2\]

위 식을 전개하면

    \[ a^2 + 2 ab + b^2 = 2 ab + c^2\]

    \[ \therefore a^2 + b^2 = c^2\]

증명 2

처음의 직각삼각형을 위와 같이 배열하면 중간의 정사각형의 한 변의 길이는 b-a가 되며 전체 면적은 다음과 같다.

    \begin{align*}c^2 &= \frac{1}{2}ab \times 4\ + (b-a)^2\\&= 2ab + b^2 - 2ab + a^2\end{align*}

    \[ \therefore a^2 + b^2 = c^2 \]

증명 3 – 미국 20대 대통령이었던 제임스 가필드의 증명법입니다.

직각 삼각형 2개를 위와 같이 배열하고 사다리꼴로 만듭니다. 사다리꼴은 밑변이 b, 윗변이 a, 높이가 a+b가 되므로 면적은 다음과 같습니다.

    \[ \frac{1}{2}(a+b)\times (a+b) = \frac{1}{2} ab \times 2 + \frac{1}{2}c^2\]

\frac{1}{2}을 약분하고 전개하면

    \[ a^2 + 2 ab + b^2 = 2ab + c^2\]

    \[\therefore a^2 + b^2 = c^2 \]

\pi의 계산(Leibnitz공식, Machin공식)

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  • 이항정리

|x| < 1일 때

    \[(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots\]

  • Leibnitz(라이프니츠) 공식

\frac{1}{1+x^2}을 이항정리로 전개시키면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

    \begin{align*}\frac{1}{1+x^2} &= (1 + x^2 )^{-1}\\&= 1 - x^2 + \frac{(-1)(-2)}{2!}x^4 + \frac{(-1)(-2)(-3)}{3!}x^6 + \cdots \\&= 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots\end{align*}

위 식을 0 에서 x까지 적분하면 다음과 같다.

    \begin{align*}\int_0^x \frac{1}{1 + x^2} dx &= \int_0^x ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots )dx\end{align*}

위의 식에서 오른쪽 적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

    \begin{align*}x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \cdots \end{align*}

왼쪽 적분을 하기 위해 x=\tan \theta라고 하면 dx = \sec^2 \theta d\theta, 1+x^2 = 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta이므로

    \[ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \theta + {\rm C} = \arctan x + {\rm C}\]

    \begin{align*}\int_0^x \frac{1}{1 + x^2} dx= \arctan x\end{align*}

    \[ \arctan x =x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \cdots \]

위의 식에서 x의 값을 음(-)의 방향에서 1로 가까이 보내면(즉, x \rightarrow 1^-) 다음 식을 얻을 수 있다.

    \[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \]

  • Machin(마친) 공식

\tan \alpha = \frac{1}{5}라고 하면

    \begin{align*}\tan (2\alpha) &= \frac{2 \tan \alpha}{ 1 - \tan^2 \alpha} \\&= \frac{2\times \frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \frac{5}{12}\end{align*}

    \begin{align*}\tan (4\alpha) &= \tan(2 \times 2\alpha) \\&= \frac{2 \tan 2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha } \\ &=\frac{2 \times \frac{5}{12}}{1-\left( \frac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119} \approx 1\end{align*}

따라서 4\alpha \approx \frac{\pi}{4}인 것을 알 수 있다.

\frac{\pi}{4}= 4\alpha - \beta라고 하면

    \begin{align*}\tan \beta &= \tan \left( 4\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \\&= \frac{\tan 4\alpha - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan 4\alpha \cdot \tan \frac{\pi}{4}} \\&= \frac{\frac{120}{119}-1}{1+ \frac{120}{119} }\\&= \frac{1}{239}\end{align*}

    \begin{align*}\therefore \beta = \arctan\frac{1}{239}\end{align}

\frac{\pi}{4} = 4\alpha -\beta이므로

    \begin{align*}\frac{\pi}{4} &= 4\alpha - \beta \\& = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} \end{align*}

    \[ \therefore \frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} \]

\pi의 정의와 원주의 길이 L=2\pi r

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우리가 원을 다룰 때 많이 사용하는 숫자인 \pi는 원을 그렸을 때 지름에 대한 원주의 비율로 정의한다.

반지름이 r인 원을 생각했을 때 지름은 D = 2 r이 되고 원주를 L이라고 하면 \pi는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[ \pi = \frac{L}{ D} = \frac{L}{2r}\]

따라서 원주의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

    \[ L= 2 \pi r \]

원의 면적 S=\pi r^2 증명 3

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위의 그림은 반지름이 r인 원을 12등분하고 내부에 12개의 삼각형을 그린 그림이다. 이 경우 원의 중심에서 삼각형의 중심각은 \frac{2\pi}{12} 한 변의 길이가 각각 r인 삼각형이 되므로 1개의 삼각형의 면적 S_1은 다음과 같다.

    \[ S_1 = \frac{1}{2}r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{12} \right)\]

위의 경우를 더 일반화 시켜 원을 정 n 각형으로 근사시켰을 때 n개의 삼각형으로 나타낼 수 있다. 그 삼각형 1개의 면적을 S_1이라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.

    \[ S_1 = \frac{1}{2} r^2 \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right) \]

각각의 삼각형을 모두 더한 삼각형의 면적을 S_n이라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[ S_n = n \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{n} \right) \]

n을 무한대로 보내면 S_n은 원의 면적 S로 근사시킬 수 있다.

    \[ S= \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{1}{2} r^2 \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)\]

\frac{2\pi}{n} = \theta라고 하면 n= \frac{2\pi}{\theta}가 되고 n \rightarrow \infty일 때 \theta \rightarrow 0이가 되므로 원의 면적은 다음과 같이 구할 수 있다.

    \[ S = \frac{1}{2} r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \pi}{\theta} \sin \theta = \pi r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \]

\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1[link]이므로 원의 면적은 다음과 같다.

    \[ S= \pi r^2\]

원의 면적 S=\pi r^2 증명 2

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중심이 원점인 원에 대해 1사분면의 면적 S_1을 구하고 4배를 해서 원의 면적을 구한다.

원점을 중심으로 하는 원의 방정식은 x^2 + y^2 = r^2 이므로 x일 때의 y값은 다음과 같이 주어진다.

    \[ y=\sqrt{r^2 - x^2} \]

1사분에서 면적 요소 dS_1은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[ dS_1 = y dx = \sqrt{r^2-x^2} dx \]

    \[ \therefore S_1 = \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} dx \]

x = r \cos\theta라고 하면 x=0일 때 \theta= \frac{\pi}{2}, x=r일 때 \theta=0이 되는 것을 알 수 있고 다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

    \[ dx = -r \sin \theta d\theta \]

    \[ \sqrt{r^2 - x^2} = r \sin \theta \]

    \[ \therefore S_1 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} r \sin \theta (- r \sin \theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sin^2\theta d\theta\]

\cos 2\theta = 1- 2 \sin^2 \theta라는 관계가 성립하므로

    \[ S_1 = r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{r^2}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right] _0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\pi r^2 \]

    \[\therefore S = 4S' = 4 \cdot \frac{1}{4} \pi r^2 = \pi r^2 \]

    \[ \]