원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 3

작성일자 2025-10-11 글쓴이 saegillab

위의 그림은 반지름이 $r$ 인 원을 12등분하고 내부에 12개의 삼각형을 그린 그림이다. 이 경우 원의 중심에서 삼각형의 중심각은 $\frac{2\pi}{12}$ 한 변의 길이가 각각 $r$ 인 삼각형이 되므로 1개의 삼각형의 면적 $S_1$ 은 다음과 같다.

$S_1 = \frac{1}{2}r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{12} \right)$

위의 경우를 더 일반화 시켜 원을 정 $n$ 각형으로 근사시켰을 때 $n$ 개의 삼각형으로 나타낼 수 있다. 그 삼각형 1개의 면적을 $S_1$ 이라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.

$S_1 = \frac{1}{2} r^2 \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)$

각각의 삼각형을 모두 더한 삼각형의 면적을 $S_n$ 이라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$S_n = n \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin\left( \frac{2\pi}{n} \right)$

$n$ 을 무한대로 보내면 $S_n$ 은 원의 면적 $S$ 로 근사시킬 수 있다.

$S= \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{1}{2} r^2 \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)$

$\frac{2\pi}{n} = \theta$ 라고 하면 $n= \frac{2\pi}{\theta}$ 가 되고 $n \rightarrow \infty$ 일 때 $\theta \rightarrow 0$ 이가 되므로 원의 면적은 다음과 같이 구할 수 있다.

$S = \frac{1}{2} r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \pi}{\theta} \sin \theta = \pi r^2 \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$

$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ [link]이므로 원의 면적은 다음과 같다.

$S= \pi r^2$

원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 2

작성일자 2025-10-11 글쓴이 saegillab

응답

중심이 원점인 원에 대해 1사분면의 면적 $S_1$ 을 구하고 4배를 해서 원의 면적을 구한다.

원점을 중심으로 하는 원의 방정식은 $x^2 + y^2 = r^2$ 이므로 $x$ 일 때의 $y$ 값은 다음과 같이 주어진다.

$y=\sqrt{r^2 - x^2}$

1사분에서 면적 요소 $dS_1$ 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$dS_1 = y dx = \sqrt{r^2-x^2} dx$

$\therefore S_1 = \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} dx$

$x = r \cos\theta$ 라고 하면 $x=0$ 일 때 $\theta= \frac{\pi}{2}$ , $x=r$ 일 때 $\theta=0$ 이 되는 것을 알 수 있고 다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

$dx = -r \sin \theta d\theta$

$\sqrt{r^2 - x^2} = r \sin \theta$

$\therefore S_1 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} r \sin \theta (- r \sin \theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sin^2\theta d\theta$

$\cos 2\theta = 1- 2 \sin^2 \theta$ 라는 관계가 성립하므로

$S_1 = r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{r^2}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right] _0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\pi r^2$

$\therefore S = 4S' = 4 \cdot \frac{1}{4} \pi r^2 = \pi r^2$

원의 면적 $S=\pi r^2$ 증명 1

작성일자 2025-10-11 글쓴이 saegillab

응답

원의 면적을 구하기 위해 반지름이 $r$ 인 원을 그리고 미소반지름 $dr$ 만큼 더 큰 원을 그렸을 때 그 사이의 미소면적을 $dS$ 라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$dS = 2 \pi r dr$

전체 면적을 계산하기 위해 $r$ 을 0에서 $r$ 까지 적분하면 다음과 같이 원의 면적을 계산할 수 있다.

$S = \int_0^r dS = \int_0^r 2\pi r dr = 2 \pi \left [ \frac{1}{2} r^2 \right ]_0^r = \pi r^2$

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