삼각함수 f(x) = sin x 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = \sin x$

$\begin{align*}f'(x) &= (\sin x)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x-h)}{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - (\sin x \cos h - \cos x \sin h) }{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos x \sin h}{2h} \\&= \cos x \times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h} \\&= \cos x\end{align*}$

여기서 사용한 공식은 다음과 같다.

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

삼각함수 f(x) = cos x 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = \cos x$

$\begin{align*}f'(x) &= (\cos x)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x+h) - \cos(x-h)}{2h} \\& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\cos x \cos h - \sin x \sin h) - (\cos x \cos h + \sin x \sin h) }{2h} \\& = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-2 \sin x \sin h}{2h} \\& = -\sin x \times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h} \\& = -\sin x\end{align*}$

여기에서 다음 공식을 사용하였다.

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

삼각함수 f(x) = tan x 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\begin{align*}f'(x) &= (\tan x )' = \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)' \\&= \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\&= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\&= \frac{1}{\cos^2 x} \\&= \sec^2 x\end{align*}$

여기에서는 다음 식을 이용하였다.

$\left [\frac{f(x)}{g(x)}\right ]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = - \sin x$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sec x = \frac{1}{\cos x}$

지수함수 $f(x)=a^x$ 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = a^x$

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^x(a^h - 1)}{h}\\&= a^x \times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^h - 1}{ h}\end{align*}$

$a^h - 1 =t$ 라고 하면 $a^h = 1 + t$ 가 되며 이 식의 양변에 자연로그를 취하면 다음과 같다.

$\ln a^h = h \ln a = \ln (1+t)$

$h = \frac{\ln (1+t)}{\ln a}$

$h \rightarrow 0$ 일 때 $t \rightarrow 0$ 이 되므로 $f'(x)$ 는 다음과 같이 표시할 수 있다.

$\begin{align*}f'(x) &= a^x \times \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\frac{\ln (1+t)}{\ln a}} \\&= a^x \ln a \times \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \ln(1+t)} \\&= a^x \ln a \times \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{\ln(1+t)^\frac{1}{t}} \\&= a^x \ln a \times \frac{1}{\ln e} \\&= a^x \ln a\end{align*}$

지수함수 $f(x)=e^x$ 의 미분

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

$f(x) = e^x$

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} \\& = e^x \lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^h - 1}{h} \\& = e^x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left [ (1+h)^\frac{1}{h} \right ]^h - 1}{h} \\& = e^x \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h) - 1}{h} \\& = e^x\end{align*}$

여기에서는 다음의 자연상수 $e$ 의 정의가 사용되었다.

$e = \lim_{h \rightarrow 0} (1 + h)^\frac{1}{h}$

자연 상수 e

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

응답

[이 글은 강의를 위해 미리 작성해보는 자료입니다.]

자연 상수 $e$ 의 정의

$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n$

이 상수는 처음에는 복리 이자를 계산할 때 나온 개념입니다.

복리 이자 계산 법

수령액 = 원금 + 원금*이율=원금(1+이율)

어느 은행에서 1만큼의 예금을 넣었을 때 1년 뒤 원금의 100%인 1을 추가로 준다고 가정하겠습니다.

$(n=1) : 1 \times (1 + 1) = 2$

이 금액을 1년의 $\frac{1}{2}$ 인 6개월 후 이자 $\frac{1}{2}$ 을 합한 값을 받고 바로 입금하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$(n=2) : \left( 1 + \frac{1}{2}\right )\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.25$

다시 1년을 다시 $\frac{1}{3}$ 으로 쪼개 다시 이자와 원금을 입금하는 것을 반복하면 다음과 같이 계산됩니다.

$(n=3) : \left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)=\left(1 + \frac{1}{3}\right)^3 \approx 2.37$

1년을 다시 $\frac{1}{4}$ 으로 쪼개 반복하면 다음과 같이 계산된다.

$(n=4) : (1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2.44$

위의 계산 결과를 보면 받게 되는 금액이 늘어나는데 최대 얼마를 받을 것인지를 계산하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 2.718\ 281\ 828\cdots$

이 수는 무리수인 것이 확인되었고, 이 상수를 자연 상수 또는 오일러 상수라고 부릅니다.

위에서는 자연수 $n$ 에 대해서 표시했지만 실수 $x$ 로 표현한다면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$e = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + x\right)^{\frac{1}{x}$

미분의 정의

작성일자 2025-11-21 글쓴이 saegillab

응답

[이 글은 고등학교 수학을 기반으로 대학에서 물리학을 공부하기 위한 학생들을 위한 자료입니다.]

어떤 함수 $f(x)$ 에서 어느 점 $x$ 에서의 접선의 기울기

(1) $\begin{equation*}f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\end{equation*}$

예제 : $f(x) =x^2$

[정의 1]

$\begin{align*}f'(x) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\&=\lim_{h \rightarrow 0} (2x + h) \\&= 2x\end{align*}$

[정의 2]

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 - (x-h)^2}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 - (x^2 - 2xh +h^2)}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh - h^2}{h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} (2x - h) \\&= 2x\end{align*}$

[정의 3]

$\begin{align*}f'(x) &= \lim_{h \rigntarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 - (x-h)^2}{2h} \\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - (x^2 - 2xh + h^2)}{2h}\\&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{4xh}{2h} \\&= 2x \end{align*}$

사인 정리, 코사인 정리

작성일자 2025-11-20 글쓴이 saegillab

응답

사인 정리

삼각형 ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세 변의 길이 $a$ , $b$ , $c$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\frac{\sin\rm{A}}{a} = \frac{\sin\rm{B}}{b} = \frac{\sin\rm{C}}{c}$

삼각형의 면적을 $S$ 라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$S = \frac{1}{2} ab \sin\rm{C} = \frac{1}{2} \it bc \sin\rm{A} = \frac{1}{2} \it ca\sin\rm{B}$

위 식을 각각 $abc$ 로 나누면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

$\frac{\sin\rm{A}}{a} = \frac{\sin\rm{B}}{b} = \frac{\sin\rm{C}}{c}$

코사인 정리

삼각형 ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세 변의 길이 $a$ , $b$ , $c$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\rm{A}$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\rm{B}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\rm{C}$

A에서 $\overline{\rm{BC}}$ 에 수선을 긋고 그 점을 H라고 하자. 삼각형에서 다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

$\overline{\rm{AH}} = b \sin\rm{C}$

$\overline{\rm{HC}} = b \cos\rm{C}$

$\overline{\rm{BH}} = a - b \cos\rm{C}$

직각 삼각형 ABH에 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

$\begin{align*}c^2 & = \overline{\rm{BH}}^2 + \overline{\rm{AH}}^2 \\ & = (a - b\cos\rm{C})^2 + (b \sin\rm{C})^2 \\ & = a^2 - 2ab\cos\rm{C} + b^2 \cos^2\rm{C} + b^2 \sin^2\rm{C} \\ & = a^2 -2ab\cos\rm{C} + b^2 (\cos^2\rm{C} + \sin^2\rm{C}) \\ & = a^2 + b^2 - 2ab\cos\rm{C}\end{align*}$

여기서 $\cos^2\rm{C} + \sin^2\rm{C} = 1$ 이라는 관계식을 이용하였다. [삼각함수와 항등식]

나머지 $a^2$ , $b^2$ 의 값도 위와 같은 방식으로 구할 수 있다.

각도 도(˚)와 라디안(radian)

작성일자 2025-10-24 글쓴이 saegillab

응답

우리가 일반적으로 사용하는 각도는 도(degree, 기호는 ˚)는 한 점에서 한바퀴 돌린 원을 360등분으로 나누어 사용하고 있다. 한 바퀴를 왜 360개로 나누었을까 생각해보면 옛부터 바라보던 별에서 유래되었을 것으로 보인다. 별이 1년(약 365일)동안 별이 이동하여 원래로 돌아오는 것이 대략 360일 지나면 다시 돌아오는 것에서 시작되었을 것으로 보인다.

라디안(radian)의 정의