E=mc^2 \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2}m_0 v^2

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질량-에너지 등가 원리에 의해 물체의 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

    \[ E = mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

위의 식을 보면 고전적으로 이야기하는 물체의 운동 에너지는 E_k = \frac{1}{2}mv^2으로 표현되는데, 위 식에서는 그런 형태가 보이지 않는다. 상대론적인 에너지와 고전역학에서의 운동에너지와 어떤 관계가 있는지 알아보자.

물체가 가지는 에너지의 식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

    \[ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2 /c^2}} = m_0 c^2 \left( 1- \frac{v^2}{c^2} \right)^{- \frac{1}{2}}\]

수학에서 이항정리는 다음과 같이 표현된다.

    \[ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots\]

위의 식에서 x의 값이 아주 작을 때, 즉 x << 1일 때 다음과 같이 근사값을 구할 수 있다.

    \[(1 + x)^n \approx 1 + nx\]

고전적으로 물체의 속력 v는 광속 c에 비해 아주 작으므로 다음과 같이 근사 시킬 수 있다.

    \begin{equation*}\begin{aligned}E &= m_0 c^2 \left ( 1- \frac{v^2}{c^2}\right )^{-\frac{1}{2}} \\&\approx m_0 c^2 \left [ 1 - \left (-\frac{1}{2} \right ) \frac{v^2}{c^2} \right ] \\& = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2\end{aligned}\end{equation*}

위의 식을 보면 상대론적인 에너지 E=mc^2에는 정지질량 에너지 m_0 c^2항과 고전적인 의미에서 운동에너지 E_k = \frac{1}{2} m_0 v^2의 합으로 표현되는 것을 알 수 있다.

E=mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

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    \[ E=mc^2 \]

시간에 따른 에너지의 변화량은 일률과 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \begin{equation*}\begin{aligned}\frac{dE}{dt} &= c^2 \frac{dm}{dt} \\&= \bf{F} \cdot \bf{v} \\&=\it \frac{d\bf{p}}{\it dt} \cdot \bf{v} \\&= \it \frac{dm}{dt} \bf{v} \cdot v + \it m \frac{d\bf{v}}{dt} \cdot \bf{v} \\&= \it \frac{dm}{dt} v^{\rm 2} + \frac{m}{\rm{2}} \frac{dv^{\rm 2}}{dt} \end{aligned}\end{equation*}

위 식을 다시 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[(c^2 - v^2) \frac{dm}{dt} = \frac{m}{2} \frac{dv^2}{dt}\]

양변의 dt를 제거하고 왼쪽은 변수 m으로, 오른쪽은 변수 v^2으로 변수를 분리하여 표현하면 다음과 같다.

    \[ \frac{dm}{m} = \frac{dv^2}{2(c^2 - v^2)}\]

c^2 - v^2 = x라고 하면 -dv^2 = dx이므로 위의 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    \[\frac{dm}{m} = - \frac{dx}{2x}\]

v=0일 때 m=m_0, x=c^2이고, 속력이 v일 때 질량은 m, x = c^2 - v^2이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.

    \[\int_{m_0}^m \frac{dm}{m} = -\int_{c^2}^{c^2 - v^2} \frac{dx}{2x} = \int_{c^2 - v^2}^{c^2} \frac{dx}{2x}\]

    \[\ln \left( \frac{m}{m_0}\right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{c^2}{c^2 - v^2}\right) = \ln \sqrt{\frac{c^2}{{c^2 - v^2}}} = \ln \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\]

    \[ \therefore \quad m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

    \[ \therefore \quad E=mc^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

자연 상수 e

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응답

[이 글은 강의를 위해 미리 작성해보는 자료입니다.]

자연 상수 e의 정의

    \[ e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n\]

이 상수는 처음에는 복리 이자를 계산할 때 나온 개념입니다.

복리 이자 계산 법

수령액 = 원금 + 원금*이율=원금(1+이율)

어느 은행에서 1만큼의 예금을 넣었을 때 1년 뒤 원금의 100%인 1을 추가로 준다고 가정하겠습니다.

    \[ (n=1) : 1 \times (1 + 1) = 2\]

이 금액을 1년의 \frac{1}{2}인 6개월 후 이자 \frac{1}{2}을 합한 값을 받고 바로 입금하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

    \[ (n=2) : \left( 1 + \frac{1}{2}\right )\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.25 \]

다시 1년을 다시 \frac{1}{3}으로 쪼개 다시 이자와 원금을 입금하는 것을 반복하면 다음과 같이 계산됩니다.

    \[ (n=3) : \left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)=\left(1 + \frac{1}{3}\right)^3 \approx 2.37\]

1년을 다시 \frac{1}{4}으로 쪼개 반복하면 다음과 같이 계산된다.

    \[ (n=4) : (1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2.44\]

위의 계산 결과를 보면 받게 되는 금액이 늘어나는데 최대 얼마를 받을 것인지를 계산하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

    \[ e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 2.718\ 281\ 828\cdots \]

이 수는 무리수인 것이 확인되었고, 이 상수를 자연 상수 또는 오일러 상수라고 부릅니다.

위에서는 자연수 n에 대해서 표시했지만 실수 x로 표현한다면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

    \[ e = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + x\right)^{\frac{1}{x}\]